beadnews.pages.dev






Vinklar grader blir ett figur

Vinklar samt cirklar

[redigera]Vinkelmått

Det finns flera olika enheter till för att mäta vinklar, liksom existerar praktiska inom olika kontext. dem numeriskt värde vanligaste vinkelmåtten inom matematiken existerar grader samt radianer.

Vi lär oss också hur många grader till exempel ett helt varv eller ett halvt varv är

  • Grader. ifall en helt varv delas in inom delar, således kallas varenda sektion 1 grad. Beteckningen på grund av grader existerar $ ^\circ$.
  • Radianer. en annat sätt för att mäta vinklar existerar för att nyttja längden från vinkelns cirkelbåge inom förhållande mot radien liksom mått vid vinkeln.

    Detta vinkelmått kallas på grund av radian. en varv existerar alltså $\,2\pi\,$ radianer eftersom cirkelns omkrets existerar $\,2\pi r\,$, var $\,r\,$ existerar cirkelns radie.


en helt varv existerar $\,^\circ\,$ alternativt $\,2\pi\,$ radianer samt detta fullfölja för att $$\eqalign{&1^\circ = \frac{1}{} \cdot 2\pi\ \mbox{ radianer } = \frac{\pi}{}\ \mbox{ radianer,}\cr &1\ \mbox{ radian } = \frac{1}{2\pi} \cdot ^\circ = \frac{^\circ}{\pi}\,\mbox{.}}$$ Dessa omvandlingsfaktorer kunna användas på grund av för att konvertera mellan grader samt radianer.

Grader

Exempel 1

  1. $30^\circ = 30 \cdot 1^\circ = 30 \cdot \displaystyle \frac{\pi}{}\ \mbox{ radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{6}\ \mbox{ radianer }$

  2. $ \displaystyle \frac{\pi}{8}\ \mbox { radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot (1 \; \mbox{radian}\,) = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot \displaystyle \frac{^\circ}{\pi} = 22{,}5^\circ$

I enstaka sektion kontext förmå detta artikel meningsfullt för att prata angående negativa vinklar alternativt vinklar vilket existerar större än °.

Då är kapabel man nyttja för att man är kapabel ange identisk riktning tillsammans flera olika vinklar vilket skiljer sig ifrån varandra tillsammans med en helt antal varv.

Exempel 2

  1. Vinklarna $\,^\circ\,$ samt $\,^\circ\,$ anger identisk riktning eftersom $$^\circ + 2 \cdot ^\circ = ^\circ\,\mbox{.}$$
  2. Vinklarna $\,\displaystyle\frac{3\pi}{7}\,$ samt $\,-\displaystyle\frac{11\pi}{7}\,$ anger identisk riktning eftersom $$\frac{3\pi}{7} - 2\pi = -\frac{11\pi}{7}\,\mbox{.}$$
  3. Vinklarna $\,36^\circ\,$ samt $\,^\circ\,$ anger ej identisk riktning utan motsatta riktningar eftersom $$36^\circ + ^\circ = ^\circ\,\mbox{.}$$

[redigera]Avståndsformeln

Pythagoras sats existerar enstaka från dem maximalt kända satserna inom matematiken samt säger för att inom ett rätvinklig triangel tillsammans med kateter $\,a\,$ samt $\,b\,$, samt hypotenusa $\,c\,$ gäller för att

Pythagoras sats: $$c^2 = a^2 + b^2\,\mbox{.}$$

Exempel 3

I triangeln mot motsats till vänster existerar $$c^2= 3^2 + 4^2 = 9 +16 = 25$$ samt därför existerar hypotenusan $\,c\,$ lika tillsammans $$c=\sqrt{25} = 5\,\mbox{.}$$

Pythagoras sats förmå användas på grund av för att beräkna avståndet mellan numeriskt värde punkter inom en koordinatsystem.


  • vinklar grader blir en figur

    • Avståndsformeln:

    Avståndet $\,d\,$ mellan numeriskt värde punkter tillsammans med koordinater $\,(x, y)\,$ samt $\,(a, b)\,$ existerar $$d = \sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2}\,\mbox{.}$$

    Linjestycket mellan punkterna existerar hypotenusan inom ett rätvinklig triangel vars kateter existerar parallella tillsammans med koordinataxlarna.

    Kateternas längd existerar lika tillsammans med beloppet från skillnaden inom x- samt y-led mellan punkterna, dvs. $|x-a|$ respektive $|y-b|$. Pythagoras sats ger sedan avståndsformeln.

    Vill vi till exempel skriva en vinkel med storleken 45 grader, då kan vi skriva storleken på vinkeln som 45°

    Exempel 4

    1. Avståndet mellan $\,(1,2)\,$ samt $\,(3,1)\,$ existerar $$d=\sqrt{ ()^2 + ()^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{ 4+1} = \sqrt{5}\,\mbox{.}$$
    2. Avståndet mellan $\,(-1,0)\,$ samt $\,(-2,-5)\,$ existerar $$d=\sqrt{ ((-2))^2 + (0-(-5))^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26}\,\mbox{.}$$

    [redigera]Cirklar

    En cirkel består från varenda punkter såsom befinner sig vid en visst fixt avstånd $\,r\,$ ifrån enstaka punkt $\,(a,b)\,$.

    Avståndet $\,r\,$ kallas på grund av cirkelns radie samt punkten $\,(a,b)\,$ till cirkelns medelpunkt. Figuren nedan visar andra viktiga cirkelbegrepp.

    Exempel 5

    En cirkelsektor existerar given inom figuren mot motsats till vänster.

    Om ett helt varv delas in i delar, så kallas varje del 1 grad

    1. Bestäm cirkelbågens längd.

      Medelpunktsvinkeln $\,50^\circ\,$ blir inom radianer $$50^\circ= 50 \cdot 1^\circ = 50 \cdot \frac{\pi}{}\ \mbox{ radianer } = \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ radianer. }$$ vid detta sätt liksom radianer existerar definierat betyder detta för att cirkelbågens längd existerar radien multiplicerat tillsammans vinkeln mätt inom radianer, $$3 \cdot \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ l.e.

      } = \frac{5\pi}{6}\ \mbox{ l.e.

      Beteckningen för grader är $ ^\circ$

      }$$

    2. Bestäm cirkelsektorns area.

      Cirkelsektorns andel från läka cirkeln existerar $$\frac{50^\circ}{^\circ} = \frac{5}{36}$$ samt detta betyder för att dess area existerar $\,\frac{5}{36}\,$ delar från cirkelns area såsom existerar $\,\pi r^2 = \pi 3^2 = 9\pi\,$, dvs. $$\frac{5}{36} \cdot 9\pi\ \mbox{ a.e. }= \frac{5\pi}{4}\ \mbox{ a.e. }$$


    enstaka punkt $\,(x,y)\,$ ligger vid cirkeln liksom äger medelpunkt inom $\,(a,b)\,$ samt radie $\,r\,$ angående dess avstånd mot medelpunkten existerar lika tillsammans med $\,r\,$.

    Detta villkor kunna formuleras tillsammans med avståndsformeln likt

    Cirkelns ekvation: $$(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\,\mbox{.}$$

    Exempel 6

    1. $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9\quad$ existerar ekvationen på grund av enstaka cirkel tillsammans med medelpunkt inom $\,(1,2)\,$ samt radie $\,\sqrt{9} = 3\,$.

    1. $x^2 + (y-1)^2 = 1\quad$ kunna tecknas såsom $\,(x-0)^2 + (y-1)^2 = 1\,$ samt existerar ekvationen till ett cirkel tillsammans medelpunkt inom $\,(0,1)\,$ samt radie $\,\sqrt{1} = 1\,$.

    1. $(x+1)^2 + (y-3)^2 = 5\quad$ förmå tecknas såsom $\,(x-(-1))^2 + (y-3)^2 = 5\,$ samt existerar ekvationen på grund av enstaka cirkel tillsammans med medelpunkt inom $\,(-1,3)\,$ samt radie $\,\sqrt{5} \approx 2{,}\,$.

    Exempel 7

    1. Ligger punkten $\,(1,2)\,$ vid cirkeln $\,(x-4)^2 +y^2=13\,$?

      Stoppar oss in punktens koordinater $\,x=1\,$ samt $\,y=2\,$ inom cirkelns ekvation äger oss för att
      $\mbox{VL }= ()^2+2^2 = $
      $=(-3)^2+2^2=9+4=13= \mbox{ HL}\,\mbox{.}$
      eftersom punkten möter cirkelns ekvation ligger punken vid cirkeln.



    1. Bestäm ekvationen till cirkeln likt besitter medelpunkt inom $\,(3,4)\,$ samt innehåller punkten $\,(1,0)\,$.

      eftersom punkten $\,(1,0)\,$ bör ligga ner vid cirkeln måste cirkelns radie existera lika tillsammans med avståndet ifrån $\,(1,0)\,$ mot medelpunkten $\,(3,4)\,$. Avståndsformeln ger för att detta avstånd existerar $$c=\sqrt{()^2 + ()^2 }= \sqrt{4 +16} = \sqrt{20} \, \mbox{.}$$ Cirkelns ekvation existerar därför $$(x-3)^2 + (y-4)^2 = 20 \; \mbox{.}$$

    Exempel 8

    Bestäm medelpunkt samt radie till den cirkel vars ekvation existerar $\ x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0\,$.


    oss bör försöka nedteckna angående cirkelns ekvation vid formen $$(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2$$ på grund av då kunna oss direkt avläsa för att medelpunken existerar $\,(a,b)\,$ samt radien existerar $\,r\,$.

    Börja tillsammans med för att kvadratkomplettera termerna vilket innehåller $\,x\,$ inom vänsterledet $$ \underline{x^x\vphantom{(}} + y^2+4y + 1 =\underline{(x-1)^^2} + y^2+4y + 1$$ (de understrukna termerna visar kvadratkompletteringen).

    Kvadratkomplettera sedan termerna vilket innehåller $y$ $$ (x-1)^^2 + \underline{y^2+4y} + 1= (x-1)^^2 + \underline{(y+2)^^2} + 1\,\mbox{.}$$

    Vänsterledet existerar alltså lika tillsammans med $$ (x-1)^2 + (y+2)^ $$

    och ändrar bostadsort oss ovan 4 mot högerledet existerar cirkelns ekvation $$ (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4 \, \mbox{.}$$

    Vi avläser för att medelpunkten existerar $\,(1,-2)\,$ samt radien existerar $\,\sqrt{4}= 2\,$.

    Övningar